×
Сабақтар Хабарландыру тақтасы Кіру Қазақша-ағылшынша сөздік Ағылшынша-қазақша сөздік Пәндер Тіркелу

Біртекті дифференциалдық теңдеу

Екі айнымалыдан тәуелді f(x, y) функция m дәрежелі біртекті деп аталады егер мына шарт орындалса:

f(kx, ky) = km f(x, y)

Мысалы мынау екінші дәрежелі біртекті функция болады:

f(x, y) = xy

Себебі:

f(kx, ky) = kx*ky = k2x*y = k2 f(x, y)

P(x, y) және Q(x, y) функциялары бірдей дәрежелі біртекті функциялар болса, онда мынау біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

Мысалы мына теңдеу біртекті дифференциалдық теңдеу болады:

xydy - (x2 + y2)dx = 0

Бұны өз бетімен тексерініз! Нешінші дәрежелі біртекті функциялар болады?

Біртекті дифференциалдық теңдеу шешу үшін y = ux қойылымы пайдалынады.

xydy - (x2 + y2)dx = 0

xyy' - x2 - y2 = 0

y = ux

x ux (ux)' - x2 - (ux)2 = 0

x2u (u + u'x) - x2 - u2x2 = 0

x2u2 + x2uu'x - x2 - u2x2 = 0

x2uu'x - x2 = 0

uu'x - 1 = 0

uu'x = 1

uu' = 1/x

u du/dx = 1/x

Бұл айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу.

u du = dx/x

∫ u du = ∫ dx/x

1/2 u2 = ln|x| +lnC

u2 = ln|x/C|

u = √ ln|x/C|

y = ux

u = y/x

y/x = √ ln|x/C|

y = x√ ln|x/C|

Жаттығу ретінде мына біртекті дифференциалдық теңдеулерді шешініз:

a) (x +2y)dx - xdy = 0

b) y' = - (x+y)/x

Достармен бөлісу:

Пән: Жоғары математика

Комменттер

Саламатсызба! Ал басқа сабақтар осы сайтта бар ма?

Күлпаш

Жауап беру | Өзгерту | Жою

Иә бар! Физика, химия, математика және басқа пәндерден. Сайттың басты бетінде бар. Тағы сұрақтар болса сұрай беріңдер!

Оған қоса сізге керексіз, бірақ басқаларға қажет заттарыңызды хабарландыру тақтасы арқылы сатыңыз. Тіркелу тегін!

Жандос Алпысбай-ұлы

Жауап беру | Өзгерту | Жою